エルミート行列について質問なのですが

任意の複素正方行列Cがエルミート行列A,BによりC=A+iBと一意的に書けることと、
Cが正規行列であるためにはAB=BAが必要十分であることを示す問題で、
A=(C+C*)/2 B=(C-C*)/2i とすれば前半は示せるとこまではいったのですが、
必要十分を示すところで固まってしまいました。どうすれば示せるでしょうか？

iは虚数単位、C*はCの随伴行列です。