で、求める家の番号をn、家の総数をmとおくと、

(n-1)*n/2 = ((n+1)+m)*(m-n)/2　　より

2*n^2=m*(m+1)

までは東大生とたけし両方がたどり着いたが、
連続する二つの自然数の積が平方数の2倍だから、
m、(m+1)の一方がが奇数の平方数、他方が平方数の2倍になっていることに気づけば、
ここで奇数の平方数の候補は 25 と 49 の二つしかないから、東大生ももっと早く解けただろうに。