>>14

証明は予備知識を仮定しないと結構手間がかかる。

なんとなく判った気になる推論で。
sin(x) = 0となる x を考えると
x = n * π
sin(x)は奇関数(sin(-x) = -sin(x))。
これが成り立つように、

sin(x)＝x * (1-x^2 / (1*π)^2) * (1-x^2 / (2*π)^2)* … * (1-x^2 / (k*π)^2)*…

と”因数分解”したとする。

一方、
テイラー展開では

sin(x)＝x - x^3 / 3! + x^5 / 5! -+ …+(-1)^(k+1) * x^(2*k-1) / (2*k-1)!+…

ここで上記２式の右辺の x^3 の係数を考えると

1/(1*π)^2 + 1/(2*π)^2 + 1/(3*π)^2 + … = 1/3! = 1/6

両辺にπ^2　を掛けて

1 + 1 / 4 + 1 / 9 + … = π^2 / 6