>>29
うーん、何と言ったらいいかな。私の言う「具体的」とは、そういう、真の意味での
具体性のことを言ってるわけじゃないんです。どうあがいても、どこかの段階で神様に
頼る(＝選択公理か、それと同等な命題を使う)しか無いことは理解しています。しかし、
問題なのは、証明の「全般」を神様に任せるのか、あるいは、途中までは人間が努力して、
最後の最後の、人間の力ではどうにも出来ない「仕上げ」の部分だけを任せるのかで、
見通しは変わると思います。ツォルンの補題のように、証明の「全般」を神様に任せると、
存在が保証されるだけで、他のことは何も分からないわけです。なんたって、大切な仕事を
全て神様に任せているわけですから。これに対し、途中までは人間の力で頑張って、最後の
最後の「仕上げ」の部分だけに選択公理を使えば、ツォルンの補題よりは「具体的」であり、
また、「構造が分かった気になる」と思いませんか？

例を挙げると、私の持っている「集合と位相」(内田伏一)には、Rのハメル基が存在することの
証明として、ツォルンの補題を使うもの、整列可能定理を使うものの2種類があります。ツォルンの
補題を使う証明では、存在が保証されるだけで、その基底がどのように取れるのか ほとんど何も
分かりません。一方で、整列可能定理を使うと、(R-{0},≦')を整列集合として、これについて
超限帰納法を使うことで、ハメル基を”具体的に”(真の意味での具体性は無いが)構成しています。
この場合、少なくともツォルンの補題を使ったときよりは、具体的であり、また、基底の構造が
少しは分かったことになりませんか？私の言う「具体的に」とか、「超フィルターの中身が目に
見えるような」とは、こんな感じの意味です。