>>414
f(x)=x^3+ax+b
f'(x)=3x^2+a

f'(x)は傾きそのもの、そして（下に凸の）放物線である。

y=f'(x)とy=mのグラフを考えて

m<aの接線の本数は０
m=aの接線の本数は１
m>aの接線の本数は２