>>642 え〜とても複雑ですね（＞＜）難しいです。
この証明じゃいけないんでしょうか？

A={(x,y)∈R^2|xy=1}が閉集合であることを示せ。
Ａ⊂(Ａの閉包)　は一般に成り立つ。

(Ａの閉包)⊂Ａを示す。
対偶「xがＡの元でないならば、xはＡの閉包の元ではない。」
を示す。

すなわち、ｘがＡの元でない⇒あるε＞０に対して、
　　　　　　　　　　　　　　　N(x;ε)∩Ａ＝φ
を示す。
任意のx∈Ａと任意のｙ∈(Ａの補集合)に対して、
　
　　ε＝1/2min{d(x,y),d(-x,y)}ととると、
ε＞0であり、
N(y;ε)∩Ａ＝φ