おはよう。
何か距離空間の知識までと書いてあるから、連続写像による閉集合の逆像は
閉集合てのを使わないとすると。

まず任意のAに含まれない点(a,b)、任意のAの点(x,y)をとる。
この二点の距離(通常の距離)の２乗=(x-a)^2+(y-b)^2
このとき(x､y)はAの点なのでxy=1、よってy=1/x　これを代入すると
(x-a)^2+((1/x)-b)^2 これの第１項、２項は共に０以上なので
二点間の距離が０だとするとa=xかつb=1/xでないといけない。
しかし(a,b)はAの点ではないので、これは満たさない。
よって(a,b)と(x,y)の距離=α>0である。
なのでこのαに対し(a,b)の半径α/2の開近傍はAと交わらない。
よってAの補集合は開集合になりAは閉集合となる。