真面目に答えてみようか？

＞（１）Ｇを有限群とすれば、Ｇの与えられた元aに対してa^n=eとなる整数n≧1が存在することを示せ。
そのような整数ｎが存在しないとすると、相異なる自然数n,ｌに対しa^n、 a^ｌが総て異なることとなりGは有限集合でなくなる。

＞（２）S、S'を群Gの空でない部分集合とし、それらで生成されるGの部分集合をそれぞれH、H'とする。Sの任意の元とS'の任意の元とが可換ならば、Hの任意の元とH'の任意の元が可換であることを証明せよ。
H（resp．H')の元はS(resp．S')の元の有限個の積で現されるから帰納法で結論が分かる。

＞（３）Sを群Gの空でない部分集合とし、Sの任意の２元は可換であるとする。そのときSによって生成されるGの部分群は可換群であることを証明せよ
（２）とまったく同様に証明される。

＞（４）HをGの部分群、NをGの正規部分群とすればHNはGの部分群であることを示せ。もしこのときHも正規部分群ならばHNは正規であることを示せ。
各々部分群と正規部分群の定義が満足される事を確かめてね。

（５）NがGの部分群で(G:N)=2ならば、NはGの正規部分群であることを示せ。
G-Nに属するような元ｘをとるとG=N+xNと現される。
同様にG=N+Nxとも現されるからNx=xN。
これはNが正規部分群である事を示す。