>>665
函数解析や量子力学をやって、無限次元の線型位相空間を学ぶ。
固有値＝スペクトルが実感できる。Lie 環や表現論をやってもよい。

環と加群を学ぶ。係数が実数であれ、複素数であれ、体であることの
ありがたみがわかるし、線型空間の公理系の意味がわかる。

多様体やってベクトル束を学ぶ。基底は自然には存在しないが、基底変換
のルールが本質的であることがわかる。

特殊函数の本で直交多項式を学ぶ。計量の入った空間、基底の正規直交化
などの意味がわかってくる。