> 流れ切ってすみません。数理統計なんですが、ポワソン分布の確率母関数を教えて頂きたいのです。
> 自分で計算したところe^zになったのですが、合っているのでしょうか

母関数の定義がはっきりしないが，確率変数 X の母関数の定義として，
g(θ) := E[θ^X] を採用することにすれば，

ポアソン分布 P(X = k) = e^(-λ)・λ^k/k! (k = 0, 1, 2, ...) について，
g(θ) = Σ[k=0 から ∞] e^(-λ)・λ^k/k!・θ^k
= e^(-λ) Σ[k=0 から ∞] (λθ)^k/k!
= e^(-λ) e^(λθ) = e^λ(θ-1)

m(θ) = E[e^(θX)] を採用するならば，m(θ) = e^(λ(e^θ-1))