u(x , y) = ax^2 + by^2とする。w(z) = u + ivが正則となるとき、実数a , bの間に成り立つ関係を示せ。
このと きwの虚部すなわちuと共役な関数v(x , y)を求め、wをzの関数として表せ。

これがわかりません。
なんとなくv(x , y)は-bx^2 + ay^2 + C（定数）　って気がするんですが、

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Cauchy-Riemannの関係式より、
　u_x = v_y , u_y , -(v_x)
ここで、
　u_x = 2ax , u_y = 2by
より、
　v_y = 2ax , v_x = -2by
v_yをxを固定してyで（重？）積分すると、
　v = 2axy + f(x)
ただし、f(x)はxについての関数。vをxで偏微分して、
　v_x = 2ay + ∂f(x)/∂x = -2by
　∂f(x)/∂x = -2ay - 2by
∴f(x) = -2axy - 2bxy + C　　ただし、Cは積分定数
∴v = 2axy - 2axy - 2bxy + C = -2bxy + C

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とかやっておかしな事態に陥っています。ヘルプ