||Ax||=||x||⇒Aがユニタリ行列である。
の証明は、

||Ax||^2=||x||^2より(Ax,Ax)=t(Ax)(Ax)^c=(tx)(tA)(A^c)(x^c)=(x,x)
これより(tA)(A^c)=Eとなる。
したがってAはユニタリ行列である。

で大丈夫でしょうか？