複素数の複素数乗ってどう考えりゃいいんでしょうか？

z = re^(iθ)、α = a + biとでも置いて、
z^α
= {re^(iθ)}^α
= r^α * e^(iθα)
= r^(a + bi) * e^{iθ(a+bi)}
= r^a * e^{logr^bi} * e^(-bθ) * e^(aθi)
= r^a * e^(-bθ) * e^{blogr}i * e^(aθi)
=r^a * e^(-bθ) * {cos(blogr + aθ) + isin(blogr + aθ)}

ここまでは解ったんですが、z,α,β∈Cの時に

z^α * z^β = z(α + β)

みたいな等式を証明する時ってわざわざ↑のような変換をする以外の方法ってあるのでしょうか？
一応課題なので申し訳ないのですが、初っ端からつっかえていたらどうしようもないのでお願いしたいです。