両辺をyz倍すると、(zy^2)/xが整数であることが分かる。
また、条件式を満たすx,y,zが全てある素数pで割り切れるときは、x/p、y/p、z/pも条件を満たすことから、
どのような素数pに対しても、x,y,zの全てがpの倍数にならないようなケースのみを考えればよいことが分かる。

今、xが素数pで割り切れると仮定すると、上の前半部分からy,zの少なくとも一方がpで割り切れることが分かり、
後半部分から、y,zの片方のみがpで割り切れることが分かる。

xがpでa回割り切れ、yがpでb回割り切れ、zがpで割り切れないケースを考える。
（ただし、a,b＞0）
y/x＋z/y＋x/z
=(zy^2 + xz^2 + yx^2)/(xyz)
なので、(zy^2 + xz^2 + yx^2)はpで(a+b)回割り切れることが分かる。
また、(zy^2 + xz^2 + yx^2)は少なくともmin(2b, a, 2a+b) = min(2b, a)回割り切れる事が分かっている。

ここで、2b＞aならば(zy^2 + xz^2 + yx^2)はa回割り切れることになるが、これは(zy^2 + xz^2 + yx^2)がa+b回割り切れること、b＞0であることに
反するため矛盾。また、
2b＜aならば(zy^2 + xz^2 + yx^2)は2b回割り切れることになり、2b=a+bよりa=bが成立するが、この事から2b=2a＞aとなって、2b＜aに矛盾する。
従って2b=aが成立する。

以上のことから、x,yをともに割り切る素数pが存在した場合、x=p^2a * x'　、 y=p^a * y'と書いてよいことが分かる。
結局、x = A^2 x' 、 y = Ay' とかけることが分かり、これを繰り返すと、x =C * A^2 ,　y = A * B^2 , z = B * C^2
とかけることが分かる。

これを与式に代入して整理すれば
A^3 + B^3 + C^3 = 3ABCが成立し、ry