>>776
辺BC, CA, ABの長さをそれぞれ a, b, cとする。

∠Bの二等分線の性質から、AD:DC=BA:BC=c:a ∴AD=bc/(a+c), DC=ab/(a+c) --- (1)
∠Cの二等分線の性質から、AE:EB=CA:CB=b:a ∴AE=bc/(a+b), EB=ac/(a+b) --- (2)

△ABCにおいて、余弦定理より cos∠A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) --- (3)

△ABDにおいて、余弦定理より BD^2 = AB^2+AD^2-2AB*AD*cos∠A
　　　　　　　　　　　　　　　　 = c^2+{bc/(a+c)}^2-2c*{bc/(a+c)}*cos∠A = c^2+{bc/(a+c)}^2-{c/(a+c)}*(b^2+c^2-a^2) (∵(1)〜(3)より)
　　　　　　　　　　　　　　　　 = {c/(a+c)^2}{c(a+c)^2+b^2c-(a+c)(b^2+c^2-a^2)} = {ac/(a+c)^2}(a+b+c)(a-b+c) --- (4)

△AECにおいて、余弦定理より CE^2 = AE^2+AC^2-2AE*AC*cos∠A
　　　　　　　　　　　　　　　　 = {bc/(a+b)}^2+b^2-2{bc/(a+b)}*b*cos∠A = {bc/(a+b)}^2+b^2-{b/(a+b)}*(b^2+c^2-a^2) (∵(1)〜(3)より)
　　　　　　　　　　　　　　　　 = {b/(a+b)^2}{bc^2+b(a+b)^2-(a+b)(b^2+c^2-a^2)} = {ab/(a+b)^2}(a+b+c)(a+b-c) --- (5)

ところで、題意より BD=CEであるから BD^2=CE^2なので、(4),(5)より {ac/(a+c)^2}(a+b+c)(a-b+c) = {ab/(a+b)^2}(a+b+c)(a+b-c) --- (6)
また、題意より a>0, b>0, c>0であるから、s=a+b+cとおくと、s>0 ---(7)

このとき、a+b=s-c, a+c=s-b, a-b+b=s-2b, a+b-c=s-2cだから、これらを(6)に代入して、{ac/(s-b)^2}*s*(s-2b) = {ab/(s-c)^2}*s*(s-2c)
ここで両辺を as（≠0）で割り、分母を払うと、c(s-2b)(s-c)^2 = b(s-2c)(s-b)^2 ⇔ (b-c)s^3-2(b-c)(b+c)s^2+(b-c)(b^2+5bc+c^2)s-2bc(b-c)(b+c) = 0
⇔ (b-c){s^3-2(b+c)s^2+(b^2+5bc+c^2)s-2bc(b+c)} = 0 --- (8)

ここで、b+c=s-a, b^2+5bc+c^2=(b+c)^2+3bc=(s-a)^2+3bcであるから、これらを(8)に代入すると、
(b-c)[s^3-2(s-a)s^2+{(s-a)^2+3bc}s-2bc(s-a)] = (b-c){(a^2+bc)s+2abc} = 0

(7)より (a^2+bc)s+2abc>0は明らかなので、与式を満たす条件は b=c

従って、△ABCは AB=ACの二等辺三角形である。