>>665

関数 y = f(x) が与えられたとき，

d y = d f(x) = f'(x) Δx ...(1)

と書く．
ただし，Δx は x とは無関係な独立変数である．
したがって，dy は2変数 x, Δx の関数である．
d y を関数 ｙ= f(x) の微分とよぶ．

ここで，特別な場合として，f(x) = x の場合を考える．
このとき，f'(x) = 1 なので，d x = 1・Δx = Δx．
ゆえに，

Δx = dx ...(2)

再び，一般の y = f(x) を考える．(1) に (2) を代入して，
次の式を得る．

d y = f'(x) d x

この式の両辺を d x で割って，dy/dx = f'(x) を得て，
dy/dx に本当に商の意味を与えることができた．

なお，一般の関数 y = f(x) に対し，
Δy = Δ f(x) = f(x + Δ x) - f(x)
と書き，これを y の増分という．
もちろん，y の増分 Δy と y の微分 dy は別物であるが，
Δx≒0 のときは，近似式 Δy ≒ dy が成り立つ．
応用の数学では，しばしばこの近似式が用いられる．