xyの交代式 f が、(x-y)*(対称式) と書けることの証明をしてみました。
おかしいところがあったら指摘をお願いします。

交代式の定義 f(y,x)=-f(x,y) [*] のxにyを代入すると、f(y,y)=-f(y,y)だからf(y,y)=0。
従って因数定理より、fは(x-y)を因数に持つので f(x,y)=(x-y)g(x,y) と書ける。
すると[*]より (y-x)g(y,x)=-(x-y)g(x,y) となり、g(y,x)=g(x,y)だからg(x,y)は対称式である。