> 602

どうもありがとうございます。

> case 2
> ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
> そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
> このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
> {(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。

つまり{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}がΩの性質を満たすのですね。
(x,x)∈{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}でx∈S(a)でS(a)は非可算なので
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}は非可算になりますね。
そして,
S'(a):={(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}とすると
∀b∈S'(a)に対し,S'(b)={(x, y) ∈ S(b)×S(b) | x≦y}で
S(b)は可算なのでS(b)×S(b)も可算になりますね。

ん?
a:=min{a∈A;S(a)は非可算}の時,∀x∈S(a)に対してS(x)は可算になるのでよね。
なのでΩ:=S(a)とする事はできませんか?