>>601

非可算集合 A を一つ取る。整列定理より、A には、整列順序が一つ入る。
それを ≦ で表す。x, y ∈ A に対し、x<y ⇔ (x≦y かつ x≠y)
S(x) = {z ∈ A | z<x} とおく。

場合分けをする。

case 1
全ての x ∈ A に対し、S(x) が可算集合のとき。
このときは、A に整列順序 ≦ を与えたものが、問いに答えるものである。

case 2
ある x ∈ A に対し、S(x) が非可算集合のとき。
そのような x ∈ A で最小のものを a とする。
このときは、A の切片 S(a) に、A の順序 ≦ から導入された順序
{(x, y) ∈ S(a)×S(a) | x≦y}　が、問いに答えるものである。