p:X→Yを商写像とせよ。もし各p^-1({y})が連結でYが連結ならばXは連結である。

の問題です。

TをXの位相とSをTからのpによるYでの商位相とするとpは商写像だと言うのだから定義から
pは全射で,
s∈S⇔p^-1(s)∈T
と書け、
各p^-1({y})が連結だからp^-1({y})の位相として相対位相T_(y):={p^-1({y})∩t;t∈T}が採れ,
φ≠∀A,B∈T_(y),p^-1({y})=A∪BならばA∩B≠φ
Yが連結だからφ≠∀A,B∈S,Y=A∪BならばA∩B≠φ

でこれらからφ≠∀A,B∈T,X=A∪BならばA∩B≠φ

を示したいのですが

Xが連結ではないと仮定すると、X=A∪B、A∩B＝φとなる、
空でない、A,B∈Tが存在します。
p(A),p(B)∈Sが言えれば
P(A)∪P(B)=P(A∪B)=P(X)=Y(∵pは全射)。
A∩B≠φよりφ≠P(A∩B)⊂P(A)∩P(B)
で矛盾となり。
Xは連結(終り)

となるのですが
どうすれば「p(A),p(B)∈Sが言えれば」がいえますでしょうか?