俺は別に距離空間が特殊だとは思ってないんだけど、
例えば代数幾何で出てくるZariski位相とか。

あとどの程度重要なのか分からんけど、
集合論で順序数とか一般の順序集合に順序位相入れて議論したりすることもある。