>>342-344
迅速なレスありがとうございます。

>>343
>もし M がこの定義の意味で準基底であれば, 定理として, M は O の部分集合となる.

そうなんですか。
この定理は松坂本に載ってますかね？


松坂本177pに、

　定理１９　写像f:S->S'が連続であるためには、M'を位相空間S'の１つの準基底（すなわちO(M')=O'）とするとき、任意のm∈M'に対してf'(m)∈Oとなることが、必要かつ十分である。

　証明　定理にいう条件が必要であることはいうまでもないから、。。。

とあります。（f'はfの逆関数です。）
「いうまでもない」とは、fが連続であるならばm∈M'に対してf'(m)∈Oとなることが明らかであるということなのですが、
準基底M'が開集合の集合ならば、これは連続写像の定義より明らかなのですが、
準基底M'が任意の部分集合の集合ならば、これは明らかなのだろうか？と疑問に思ったのです。