>>341
それ, 教科書としてはあんまり良い書き方じゃないね. 「逆に」以下の

>　Oのある部分集合M (※2)に対してO=O(M)が成り立つならば、
>　Mは位相Oの(あるいは位相空間(S,O)の)準基底であるという。

を次のように読み換えたほうがいいように思う:
「P(S) の部分集合 M が O = O(M) を満たすとき, M を位相 O の準基底という」

もし M がこの定義の意味で準基底であれば, 定理として, M は O の部分集合となる.
その意味では同値な定義. いずれにせよポイントは

(1) S に位相 O が定義されていても,それをいったんわすれる.
(2) P(S) の部分集合 M を持ってきて,前項での説明通りに O(M) を構成する.
(3) もし O と O(M) が一致していたら, M を準基底と呼ぶ.