位相についてわかり安く教えてくれ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2006/06/02(金) 23:49:150153140
2006/06/24(土) 17:20:41自分の大枠のイメージもそんなとこです。
ただ、近さの大小関係を包含関係でうまく説明出来るのは、
１次元（数直線といった）の場合だけなのかなーっと。
で、勘違いしてはいけないのが、近さというものは
あくまでも概念であって、ある点Ｏにたいし、点Ａと点Ｂの
どちらが近いという比較はナンセンスであると思うとです。
初学者にわかりやすいように近さという言葉を利用しているだけかと。
自分の場合、位相に手を出したのが、ヒルベルト空間というか、
フーリエ関数といった直交関数がらみや一部リーマン幾何を理解したくて、
位相からルベーグ積分や関数空間の基礎（まあ、これも概念程度なんですが）に
手を出した程度で、位相には距離が必ず入るんですよね。
従って、距離が入らない位相が十分イメージ出来てないんですよ。
でちょっと、質問なんですが、
理工系（数学科を除く）にとって大事な距離の入らない空間
の例ってあるんですかねー？
例えば多様体あたりに進むとそのような例にであえるんですかね？
0154１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 17:40:59よく知られた具体的な"空間"に統一的に研究するために共通な性質を見出して改めて公理とする。
この"一般化"された空間で成り立つ"定理（性質）"は同じ"公理"を満たす限りどんな具体的な"空間"でも成り立つ。
"位相"もそんな"構造の公理"の１つである。
0155１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 17:58:15一般位相の理解の第一歩は近傍位相です。
直感的意味付けのほとんどは、近傍位相を使って行われます。
有向集合という概念を学習してください。１点の近傍系（近傍フィルター）
は包含関係について有向集合をなす。有向集合と言うのは擬順序関係の定義
された集合の特殊なものです。いわゆる任意の２元が比較可能な全順序集合とは
違います。遠近の概念の一般化になっていることが理解できるでしょう。
有向点族、フィルターの収束を扱った位相空間のテキストを見る必要があります。
0156１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 18:26:58閉区間[0,1]上の実数値連続関数の全体C[0,1]の全体を考える。C[0,1]の
位相をC[0,1]の点列{f_n}が 点F ∈ C[0,1]に収束するのは、関数列
{f_n}が関数Fに各点収束するとき、そのときに限るように定めることが
できる。これを各点収束位相と言うが、これは距離付けできない。通常
C[0,1]はsupノルムで定義されるノルム位相の入った一様収束の空間と見るが
これはもちろん距離空間でもある。
普通位相空間とは見ないけど、各点収束の空間は距離付けできない身近で重要な空間
じゃないかな。
0157１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 18:47:12岩波科学ライブラリー「現代数学への招待 多様体とは何か」（志賀浩二）
を読んでごらん。
0158140
2006/06/24(土) 18:55:43ご指摘ありがとうございます。
>１点の近傍系（近傍フィルター）は包含関係について有向集合をなす。
包含関係の大小の比較が出来るということですか？
（擬順序関係と言っているのだから、大小そのものではないとは思いますが）
その大小関係で遠近の概念を表現するということですね。
包含関係の大小比較については疑問に思っていたことですので
（脳内で出来ないものと決めつけて納得してました。）
Goodな指摘だと思います。
>有向点族、フィルターの収束
距離空間では収束の話題が出てきますが、距離を外した位相の中には出てきません（？）。
多分位相を理解するのに必要な概念だと思うのですが、
点列の収束といった話題があると思って良いですか？
で最後に、数学科以外の学生でも読める「位相空間」の推薦の本はありますか？
松阪先生の「集合・位相入門」は持っていたのでちらっと見てみたんです
があまり載ってなかったような。
0159140
2006/06/24(土) 19:03:44>各点収束の空間は距離付けできない身近で重要な空間
うーん。ルベーグ積分やる中で、各点や一様収束が出てきましたので、
大枠書かれた内容は理解できますが（つまり関数空間の収束）、
あまり各点収束を用いた理論というものにお目にかからないので、
ぴんときませんが。
>>157
該当書籍は評判いいので購入したかったんですが、
残念ながら絶版状態でして。
さらに、社会人ということで、復刻版を待ち状態です(^^;)。
0161GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/06/24(土) 19:15:210162１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 20:13:100163１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 20:58:11どうしたら、そんな沢山知識頭に詰め込めるの？ 本嫁たって読みきれんしー。
何か秘訣でもあるのかなー
0164１３２人目の素数さん
2006/06/24(土) 21:41:210165１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 01:58:160167１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 12:12:38> で最後に、数学科以外の学生でも読める「位相空間」の推薦の本はありますか？
> 松阪先生の「集合・位相入門」は持っていたのでちらっと見てみたんです
> があまり載ってなかったような。
当然のことだが、松坂『集合・位相入門』には位相空間のことが詳しく書かれている。
0168140
2006/06/25(日) 12:43:22記述が悪かったとおもいますが。
有向点族、フィルター関連の話題でつ。
「位相のこころ」をちらちら見てると、
よさげなのでそっちを当たってみます。
0169１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 13:01:35何を読むかはあなたの自由だけど、位相空間を理解していないと
有向点族やフィルターは分かりにくいと思うよ。
0170１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 15:04:11( a(λ) )λ∈Λ
で、Λが非可算集合の場合、
Σ[λ]a(λ)
を考えたいのだけど、このときに有向集合に対する収束で定義したり
します。
解析だと、関数とかの連続性を「開集合の逆像が…」とかでやっていると
非常に不便なので、点列を一般にした有向集合に対する収束で考えた方が、
不等式等、今までの道具が自由に使えて、とても便利ってことがあるかも…
有向集合の話は、河田・三村先生の「現代数学概説２」とか、高橋渉先生の
本がいいんじゃないかな、とか個人的に思ったり。
0171１３２人目の素数さん
2006/06/25(日) 23:09:43手頃な本で勉強するのはもう諦めてKelley読んだほうが案外早道かも、とか言ってみる
0172140
2006/06/26(月) 11:05:59>位相空間を理解していないと
そうですね。その点は気をつけながら勉強します。
>>170
現状では理解できませんが、ＰＣの中にコピペしておきました。
後日再度見てみます。
>河田・三村先生の「現代数学概説２」
品切れ(^^;)ですね。高橋渉先生は「位相のこころ」で挫折したら
そちらの方を当たってみます。
>>171
>Kelley読んだほうが案外早道かも
たぶん私には早すぎるかと・・・。
0173140
2006/06/26(月) 11:11:54お気に入りのＨＰを紹介します。
位相に関する問答集があるよ！！
【入り口】
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/index.html
【位相問答あるよ】
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/mondou.html
0174１
2006/06/26(月) 23:42:56今日位相の中間試験があったんだが、結局微妙な出来だったよｗ
0175１３２人目の素数さん
2006/06/27(火) 00:10:380176１３２人目の素数さん
2006/06/27(火) 14:18:080177１３２人目の素数さん
2006/06/27(火) 22:04:24意添う
0178１３２人目の素数さん
2006/06/29(木) 15:42:40いそう
うそう
えそう
おそう
0179１３２人目の素数さん
2006/06/29(木) 18:59:420180１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 15:11:210181１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 15:30:26この圏を Top(X) と書こう。集合全体のなす圏を Set と書く。
Top(X) から Set への反変関手全体の成す圏を Func(Top(X)^op, Set)
と書く。F をその対象とする。F は普通、(集合に値をとる)前層と
呼ばれる。前層で、ある種の局所性を持つものを層という。
Grothendieck は X 上の層全体の成す圏を位相空間 X より基本的
なものと考えた。この考えを発展させることにより Grothendieck 位相、
さらには Topos という概念を得た。これ等は位相概念を拡張したもの
と考えられる。
0182１３２人目の素数さん
2006/06/30(金) 18:39:180183１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 04:45:44密着とか離散ていうイメージがつかめません・・・
0184１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 05:32:100185１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 05:33:32中間試験っていうか期末じゃないか？
0186１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:23:17オナ大じゃオナニー大好きみたいだろ！
まあ、俺はオナ大だけどさ！
0187１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:34:100188１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:43:18＞ なんで、密着位相や離散位相は密着だの離散だのいうの？
＞ 密着とか離散ていうイメージがつかめません・・・
訳に問題あり、かな？
Trivial Topology ： 自明なトポロジー
Discrete Totology ： は、やっぱり離散的なトポロジーか・・・
0189１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:46:32近傍系を考えればわかるだろ
0190１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:47:12それまではそういうもんだと思ってれば良いのでは。
0191１３２人目の素数さん
2006/07/17(月) 23:56:59「定義しうる最弱（最強）のトポロジー」という内容で覚えてくれ。
0192１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 00:00:530193１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 00:02:250194１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 02:24:22公理的に展開された抽象数学の勉強の仕方を知らないのか？定義や術語の意味、意義は
すぐには分からないのが普通だよ。190 の言うように学習が進めば自然分かる。
せっかちな、初心者用にたとえ話を進呈しよう。Xを全空間とする。近傍を個室と考える。
離散位相:１点集合{x}がすべて開集合。よって、任意の点xは自分自身以外の
点を含まない個室（近傍）{x}を持つ。Xは離散家族だ。
密着位相:Xの任意の点xに対し、xの近傍は全空間Xしかない。全員が一つの家
Xに住まっている。適当な開集合で家族を分かつことは不可能だ。密着して
生きている。
0195１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 02:49:18まあ初心者には直ぐにわからないように書く
必然性も無いんだけどね
面倒だからあまり説明はしないのが普通かもしれないけど
あるいは演習問題や例を見ていけば分かるからそれで説明の代わりとか
0196１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 10:55:14位相空間 =非ユークリッド空間
つまり、ユークリッド＝xyzで表現される三次元、位相空間＝n次元多様体（相対性理論のローレンツ理論に基づき、局所的には近似できるが、大域的にはまがっているn次元という考え方。ルートを含むローレンツの公式はアインシュタインの相対性理論にある）
0197１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 11:20:120198１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 11:20:55多様体も位相空間も分かっていないようだね。
0199１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 12:29:100200１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 15:19:20奴はしゃれになっていないリアルキチ○○らしいから無理だろうｗ
ついでにムー○○ホ目前らしいｗ
いい年こいてアニオタで、女にキモいと言われてチ○○立てる変態らしいぞｗ
見た目はオタクコピペのまんまらしいｗ
0201１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 15:31:450202１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 16:09:22まさか本気じゃないだろうね？
0203１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 18:06:280204１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 18:13:260205１３２人目の素数さん
2006/07/18(火) 18:29:59多様体⊆位相空間 だyo。
一般相対性理論の時空のモデルに使うのは、各接空間に不正定値の内積、ローレンツ計量の
入った、ローレンツ多様体（リーマン多様体の一般化）だよ。
丸暗記して振り回せば、チミも立派な数ヲタだ。
0206１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 00:22:32二次元球面とトーラスは同相でないんだお。
0207１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 00:31:390208１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 01:02:170209１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 01:30:130210１３２人目の素数さん
2006/07/19(水) 10:19:25あと、位相幾何学（トポロジー）におけるxyz座標は少しずれてるんだお。
0211KingOfUniverse ◆667la1PjK2
2006/07/19(水) 18:05:350212１３２人目の素数さん
2006/07/28(金) 17:33:050213１３２人目の素数さん
2006/07/31(月) 17:19:330214１３２人目の素数さん
2006/08/20(日) 18:42:35別名 Heegard分解
0215１３２人目の素数さん
2006/08/21(月) 09:51:02多様体⊆位相空間ってのは間違いです。
0216１３２人目の素数さん
2006/08/21(月) 10:50:05開いた結び目をTとする。
開いた結び目Tに対して、配置空間Ｃx、Ｃyを
Ｃx＝｛（X1、X2、X3、X4）∈T＾4⊂（R＾3）＾4｜X1、X2、X3、X4はT上の異なる4点で、この順にT上に現れる｝
Ｃy＝｛（X1、X2、X3、X4）∈T×T×T×R＾3⊂（R＾3）＾4｜X1、X2、X3はT上の異なる3点で、この順にT上に現れ、X4は前の3点とは異なるようなR＾3の点である｝
で定める。
R＾3内の原点を中心とするr＝1の球面をS＾2と描く。写像φij：Ｃx、Ｃy→S＾2を
φij（X1、X2、X3、X4＝（Xｊ―Xi）／｜Xｊ―Xi｜∈S＾2
で定めて、写像φx、φyを
φx＝φ31×φ24：Ｃx→S＾2×S＾2
φy＝φ41×φ24×φ43:Ｃy→S＾2×S＾2×S＾2
で定める
ＣxS＾2とＣyをそれらの曲面にそって適切に貼り合わせる空間をＣとし、Ｃx×S＾2上でφx×id s＾2であり、Ｃy上でφyであるような写像を
φ:Ｃ→（S＾2×S＾2×S＾2）／（成分の入れ替え）
とする。写像φの写像度は2次のバジリエフ不変量になり、局所化により、
ν（T）＝ΣξCiξC´i
Σの下は（Ci、C´i）
の表示が得られる。
加えて、チャーン―サイモンズ経路積分を摂動展開したときに現れる配置空間積分がこの写像度の積分表示を与える（物理的背景）。
ただし、開いた結び目の両端は、∞遠までのびていて、ひっぱれないとみなす
という未解決問題の多いバジリエフの未解決問題のヒントがみつかる。
あとは、有理数体の上で、1次独立である9個の実数の扱いをどうするかだと思う。
0217１３２人目の素数さん
2006/08/21(月) 10:51:460218１３２人目の素数さん
2006/08/22(火) 01:33:410219１３２人目の素数さん
2006/08/30(水) 17:15:010220１３２人目の素数さん
2006/09/15(金) 20:22:380221１３２人目の素数さん
2006/10/03(火) 01:07:180222１
2006/10/12(木) 14:59:070223１３２人目の素数さん
2006/10/12(木) 15:02:35みんなに、ありがとうは
0224１３２人目の素数さん
2006/10/12(木) 15:05:32代数多様体の圏での射が連続になる。
0225１３２人目の素数さん
2006/11/13(月) 01:11:490226１
2006/11/28(火) 16:33:420227１３２人目の素数さん
2006/12/07(木) 18:46:450228１３２人目の素数さん
2006/12/31(日) 23:27:190229１３２人目の素数さん
2007/01/12(金) 15:46:440230１３２人目の素数さん
2007/01/14(日) 23:55:410231１３２人目の素数さん
2007/01/15(月) 00:17:54D(x,y)=√(x^2+y^2)となる関数のことだろ
0232１３２人目の素数さん
2007/01/15(月) 17:54:36独習でやってるんだが、どうも演習が足りない
ちなみに教科書としては内田本を使ってる
0233１３２人目の素数さん
2007/01/15(月) 19:38:12サイエンス社の黄色い本も会ったと思うけど記憶が定かでない。
0234１３２人目の素数さん
2007/01/18(木) 20:13:50㌧
サイエンス者のを見てみるわー
0235１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:02:26空間の位相を一つ固定し、その位相を定める距離d_1, d_2について、d_1 < d_2 が成り立つとき、
完備性について、d_1で完備ならd_2で完備、などということは成り立つのでしょうか？
0236１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:05:290237１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:18:390238１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:21:10一様同値は、両一様連続だと書いてありましたが、今回は片側しか成り立たないのです。
この場合はd_1で完備ならd_2で完備などというのは成り立たないのでしょうか？
0239なんつっ亭 ◆YLhguIEUXM
2007/01/19(金) 19:26:53なんつって＾＾；
0240１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:28:570241235
2007/01/19(金) 19:37:01>>240
実際ぐぐって見ましたが、「一様同値」という言葉自体あまり検索にかかりませんでした。
反例がある、つまり不成立なのでしょうか。
>>237
これは収束についてはd_1収束⇔d_2収束ということでしょうか。
とくに>>235は成立で良いのでしょうか。
0242237
2007/01/19(金) 19:43:380243１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 19:51:300244１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 20:17:07教えていただけないでしょうか。
0245１３２人目の素数さん
2007/01/19(金) 20:50:450246237
2007/01/20(土) 07:41:05ある集合上の２つの距離が同じ位相を与えれば
それぞれの距離についての収束点列全体の集合は変らない。
0247１３２人目の素数さん
2007/01/20(土) 10:50:040248１３２人目の素数さん
2007/01/20(土) 16:00:20途中、反例あり等の回答もありドキッとしましたが、
237を見る限りでは成立するようなので安心しました。
0249１３２人目の素数さん
2007/01/23(火) 09:59:59X × Yの直積位相とは何か？
これがさっぱりわかりません。
問１－２）XとYがハウスドルフ空間ならば、X × Yもハウスドルフ空間であることを示せ。
これもさっぱりです。たぶん問１－１を使うと思います。
問２）（X、ｄ）を距離空間とする
距離ｄの定めるXの位相Oｄの定義とはなにか？
これもわかりません、どういう意味でしょうか？位相Oｄが距離空間の定義を満たすということでしょうか？
問３）Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。
Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。
この問題がわからん。教えてくれ
0250１３２人目の素数さん
2007/01/23(火) 10:01:490251１３２人目の素数さん
2007/01/23(火) 10:07:30問１－１は定義を知ってるかどうかという問題だから考えても無駄。
本嫁よ
0252２４９
2007/01/23(火) 10:14:41直積位相
Sは位相空間です。Qはそれの位相
各λ∈∧についてSからSλ（λは添え字）への射影
をprλ（λは添え字）とするとき、写
像族（prλ）λ∈∧もうｐって（（Sλ、Qλ））λ∈∧からSに
誘導される位相、すなわち、すべてのprλが連続となるようなSに
おける際弱の位相QをSの直積位相という。
これをX×Yにどうやるのかがわかりません。問１－１をお願いです
こうやって答えろっていう解答を教えてください。
あと問１－２、問３も解いて答えを教えてください。
問２は解けました。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています