>>146
自分の大枠のイメージもそんなとこです。
ただ、近さの大小関係を包含関係でうまく説明出来るのは、
１次元（数直線といった）の場合だけなのかなーっと。

で、勘違いしてはいけないのが、近さというものは
あくまでも概念であって、ある点Ｏにたいし、点Ａと点Ｂの
どちらが近いという比較はナンセンスであると思うとです。
初学者にわかりやすいように近さという言葉を利用しているだけかと。

自分の場合、位相に手を出したのが、ヒルベルト空間というか、
フーリエ関数といった直交関数がらみや一部リーマン幾何を理解したくて、
位相からルベーグ積分や関数空間の基礎（まあ、これも概念程度なんですが）に
手を出した程度で、位相には距離が必ず入るんですよね。
従って、距離が入らない位相が十分イメージ出来てないんですよ。

でちょっと、質問なんですが、
理工系（数学科を除く）にとって大事な距離の入らない空間
の例ってあるんですかねー？
例えば多様体あたりに進むとそのような例にであえるんですかね？