一方、ロシアは鉛筆と２項定理と２進附値を使った。

V_p(x) で、有理数 x を既約分数で書いたとき分子が p で割れる回数(加法的　p進附値)を表すと
(例 V_2(8/7)=3 )
V_p(xy) = V_p(x) + V_p(y) ...(1)
V_p(x+y) >= min(V_p(x), V_p(y)) ...(2) もし右辺の min が引き分けでなければ等号成立
で、わしの計算にバグがなければ、 C(n,k) で n 個から k個とる2項係数を表すとし、
0 < b < a 整数、 a は p で割れない、m > 0 整数、 d < p^m に対して
V_p( C(ap^m , bp^m+d) ) = m + V_p(C(a, b)) + V_p(a-b) - V_p(d) ...(3)
となる。 p = 2, m = 6, a = 15 を代入、_2 は省略すると
V( C(960, 64 b + d) ) = 6 + V(15, b) + V(15 - b) - V(d) ...(4)
さて 3^960 - 1 = (4-1)^960 -1 = \sum_{j=1}^{960} C(960, j) (-4)^j ...(5) の各項の V( ) を考える。符号は無関係。
j を 64 で割った商を b 余りを d とすると、
V( C(960, j) 4^j ) = 128 b + 2d + 6 + V(C(15, b)) + V(15 - b) - V(d) ...(6)

この式からわかること:
b = 0 のとき V( C(960, d) 4^d ) = 2d + 6 - V(d)
で、 d = 1 ならこれは 8、 一方 d >= 2 なら　d > V(d) に注意して V( C(960, d) 4^d ) > d + 6 >= 8
より　C(960, d) は 2^9 で割れる。 b >= 1 のとき、C(960, j) 4^j が 2^128 で割れることも簡単にわかる。

結局、(5)の２項展開の 第1 項目を除き 2^9　で割り切れ、そして第１項目はジャスト 2^8 で割れる。
式(2) を利用することにより、V(3^960-1) = 8 であることがわかった。

n = 0, 1, ..., 8.