>630,644
いまさら訂正だけど

切断面を z = 2y とし、その法線方向をY軸とする。
つまり y軸,z軸をx軸の周りに θ=arctan(1/2) 回す。
　y = Ycosθ + Zsinθ = (2Y+Z)/√5,
　z =-Ysinθ + Zcosθ = (-Y+2Z)/√5.
とおく。円錐の式は
　0 < z < 2 - 2√(x^2 +y^2)　　⇔　　Y/2 < Z < (√5)/2 -(3/4)Y -{1/(Y+(2/√5))}x^2,
となる。Yを固定すれば、これは放物線の一部である。
また切断面の式は
　z < 2y　　⇔　　Y > 0,
ところで 放物線の幅をW, 高さをH とすると
　|x| < √{1-(5/4)Y^2}　より、W = 2√{1-(5/4)Y^2},
　Y/2 < Z < (√5)/2 -(3/4)Y より、H = (5/4){(2/√5) -Y},
よって断面積は
　S(Y) = (2/3)WH = (5/3){(2/√5)-Y}･√{1-(5/4)Y^2}　　　(0<Y<2/√5).
したがって
　V = ∫[0,2/√5] S(Y)dY = (5/3)∫[0,2/√5] {(2/√5)-Y}･√{1-(5/4)Y^2}dY = π/3 - 4/9.