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いまさらなんだけど

切断面を z = y√3 とし、その法線方向をY軸とする。
つまり y軸,z軸をx軸の周りに30ﾟ回す。
　y = Ycos(30ﾟ) + Zsin(30ﾟ) = (Y√3 +Z)/2,
　z =-Ysin(30ﾟ) + Zcos(30ﾟ) = (-Y+Z√3)/2.
とおく。円錐の式は
　0 < z < 2 -√{3(x^2+y^2)}　　⇔　　Y/√3 < Z < (2-Y)/√3 -{(√3)/(2(1+Y))}x^2,
となる。Yを固定すれば、これは放物線の一部である。
また切断面の式は
　z < y/√3　　⇔　　Y > 0,
ところで 放物線の幅をW, 高さをH とすると
　|x| < (2/√3)√(1-Y^2)　より、W = (4/√3)√(1-Y^2),
　Y/√3 < Z < (2-Y)/√3　より、H = (2/√3)(1-Y),
よって断面積は
　S(Y) = (2/3)WH = (16/9)(1-Y)√(1-Y^2)　　　(0<Y<1).
したがって
　V = ∫[0,1] S(Y)dY = (4/9)∫[0,1] 4(1-Y)√(1-Y^2)dY = (4/9)(π - 4/3).