まずf'(x)=kf(x)ならばf(x)=Ae^(kx)(Aは定数)である.
証明:f'(x)/f(x)=k
両辺を積分すると
lnf(x)=kx+C(Cは積分定数),f(x)=e^(kx+C)=Ae^(kx)(証明終)…①
g(x)=cosx+isinx(iは虚数単位)とする.
g'(x)=-sinx+icosx=(i^2)sinx+icosx=i(cosx+isinx)=ig(x)
よって①よりg(x)=Ae^(ix),g(0)=A=1であるから,g(x)=e^(ix)
ゆえにe^(ix)=cosx+isinx(これがオイラーの公式) あとはx=πを代入すると
e^(iπ)=-1