とりあえず∫[t=0〜1] f(t) dt=k(定数)とおくと、g(x)=x^2-kx-1から、
∫[t=1〜x] f(t) dt = x*(x^2-kx-1)+ax+1、xについて微分すると、f(x)=3x^2-2kx-1+a、
g(x)=x^2-kx-1=x^2-x∫[t=0〜1] f(t) dt-1=x^2-(a-k)x-1 から 係数比較で k=a/2、
f(x)=3x^2-ax-1+a として、∫[t=1〜x] f(t) dt = x*(x^2-ax/2-1)+ax+1 から、
x^3-ax^2/2+(a-1)x-a/2 = x^3-ax^2/2+(a-1)x+1、a=-2, k=-1で、f(x)=3x^2+2x-3、g(x)=x^2+x-1