解説を見ても（どうやって解いているのかすら）全くわかりませんでした。
どうやって解けばいいんでしょうか？

【問題】

kを自然数とする。
次の連立方程式を満たす整数の組x,yの個数をkで表せ。

y≦(x/2)+k

y≧x-(k^2)

x≧-(k^2)-k