67 ：１３２人目の素数さん ：2006/05/18(木) 20:20:55
>>487

x^2+y^2≧１（円柱の外側）で、
Ｐ（０，０，３）、Ａ（１，１，０）、Ｂ（１、−１、０）
Ｃ（−１、−１，０）、Ｄ（−１、１、０）
四角錐Ｐ−ＡＢＣＤの内部

z=tの断面をとると、
S1=t^2/18
S2=π/8
S3=∫[t/3,1] √(1-x^2) dx
=(1/2)(x√(1-x^2) +arcsinx)[t/3,1]
=π/4 -(t/18)√(9-t^2) -(1/2)aricsin(t/3)
S=8(S1-S2+S3)=8(π/8 +t^2/18 -(t/18)√(9-t^2) -(1/2)arcsin(t/3)

V=∫[3/√2,3]S dt
8∫(π/8)dt=(3 -3/√2)π=(3 -3√2/2)π
8∫t^2/18 dt=(4/9)(9 -9√2/4)=(4-√2)
8∫(-t/18)√(9-t^2) dt=(4/9)(2/3)(1/2)(9-t^2)^(3/2)=-(4/27)(9/2)^(3/2)
=-(4/27)(9/2)(3/√2)=-√2
8∫(-1/2)arcsin(t/3) dt=-4(t arcsin(t/3) -∫t/√(9-t^2) dt)
=(-4)(3π/2-3√2π/8 -∫[0,π/2] 3sinθdθ)
=(-4)(3π/2-3√2π/8 -3√2/2)=-6π+3√2π/2+6√2

V=(3 -3/√2)π+(4-√2)-√2-6π+3√2π/2+6√2
=4+4√2-3π