６点ABCDEFを互いに等しい距離になる位置に、四次元的に配置するとします
その場合、正三角形ABCを底面とする正四面体ABCD、同様の正四面体ABCE、またABCFの成立を全て同時に満たす
四次元的図形ができると思うのですが、それを証明できません。

図示しようにも、正四面体が正三角形ABCを共有しているために図示しきれませんでした。
専門に数学を学んだ方ならわかるかもと(あるいは不存在の証明)
質問させてもらいました。宜しくお願いします。