1.次の微分方程式を解く
x''+x=1 x(0)=0 x(π/2)=0　答えは1-cost-sint

まずx'(0)=aと置いて、（ラプラス変換)L[x(t)]=X(s)とする
原関数の微分法則から
L[x''(t)]=s^2X(s)-x(0)s-x'(0)=s^2X(0)-a 従って両辺のラプラス変換が

s^2X(s)-a+X(s)=1
X(s)(s^2+1)=1+a
X(s)=(a+1)/(s^2 +1)
両辺を逆ラプラス変換して
x(t)=(a+1)sin(t)
x(π/2)=0より (a+1)sin(π/2)=0 sin(π/2)=1より　a=-1
x(t)=0　となってしまいました

どのようにx(t)=1-cost-sint に持っていくのかがわかりません
ご教授、お願いします