で、帰りの電車のなかで思いついたんですけど、
dy/dx = 2xy/(x^2-y^2) = 1/(dx/dy)
dx/dy = (x^2-y^2)/2xy
ってしていいんですか？そうすれば
dx/dy = ((x/y)^2 - 1)/(2x/y) = (v^2-1)/2v = g(v) (v = y/x)
log|y| + c = ∫[1/(g(v)-v)]dv = -∫[2v/(1+v^2)]dv
= -log|1+v^2|
から
y = A/(1+v^2) (A = ± exp(-c))
y = A/(1+(x/y)^2) = (Ay^2)/(y^2+x^2)
y^2 + x^2 = Ay ⇔ y^2 - Ay + x^2 = 0
y = C±√(C^2 - x^2) (C = 2A)
ってダメ？イヤまじこれとけねーよ