a,b,c,A,B,Cを実数、i,jを虚数単位として、

(a+bi+cj)(A+Bi+Cj)=aA+(aB+bA)i+(aC+cA)j

とすれば、交換法則も結合法則も満たす三元数が出来る。この場合は

ij=ji=0

だから、k=0になる場合だな。もちろん除法が定義できなくなるが。