f1(x)=0からfr(x)=0までの共通集合が代数多様体と書いて
あるから、fi(x)=0自体が1次元より高次元でも、共通集合は
1次元になる事もあるって事だろうか？

ウィキペディアには・・・
x を不定元（変数）、n を非負の整数として、a0, a1, ..., an を
n+1 個の実数または複素数などの定数とする。このような x と
{ai}0 ≤ i ≤ n によって次のように表されるものが多項式である。
anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
・・・と書いてあった。