Poincaré　conjecture
三次元の単連結な閉多様体は三次元球面に同相である。

道
I = [0,1] で定義され、多様体上に値をとる連続関数 f を G の道 という。
f(0) をその始点、f(1) を終点という。
f(0) = f(1) のとき、閉じた道という。
f(t)が恒等的に G の一点を値にとるとき、単位の道という。
ホモトープ
2つの道 f と g は、連続的に G 内で一方から他方へ変形できるとき ホモトープ であるといい、f 〜 gと表す。
f が単位の道とホモトープであるとき、f はホモトープ0であるといい、f 〜 0と表す。
もう少し厳密に表現すると、
f と g が連続的に G 内で一方から他方へ変形できるとは、
連続関数 h：I × I → G があって、
h(0, t) = f(t)
h(1, t) = g(t)
となることをいう。
単連結
連結な G において、一点を始点とする閉じた道がすべて単位の道にホモトープであるとき、G は単連結であるという。

閉多様体
コンパクトで境界を持たない多様体