>>761
　a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + (5/3)(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = (a+b+c+d)Sym(a,b,c,d),　Sym( ) は対称式.　…… (1)
　a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a+b+c+d)^2 -2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).　　…… (2)

　題意より a+b+c+d=0, 第1式の(右辺)=0.
　a^5+b^5+c^5+d^5=0.　⇒　a^3+b^3+c^3+d^3=0 または ab+ac+ad+bc+bd+cd=0.
　ab+ac+ad+bc+bd+cd=0.　⇒　a^2 + b^2 + c^2 + d^2 =0.　⇒　a=b=c=d=0.　⇒　a^3+b^3+c^3+d^3=0.