勘違いしているようなのでできるだけyという文字を使わないで書くと、
df=f'(x)△x
となる。ちなみにdfとは△xを変数とする関数（しかもただの比例）であって、より正確には
(df)(△x)=f'(x)△x
である。
いまg(x)=xとおくと関数gに対して同じ表し方をすれば
dg=g'(x)△x=△x
であるので、
df=f'(x)dg
と書ける。
dfとdgは本来なら関数であるから割り算はできないが、上の関係にあるとき
df/dg:=f'(x)
と定義する。
さて、本文に戻るとy=y(x)=f(x), x=x(x)=g(x)であったから
dy/dx=df/dg=f'(x)
であり、何もおかしい所はない。

しかし解析概論スレは別にあるんだし、削除対象だろう。