解析概論 dy＝f'(x)・△x についての議論
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0001１３２人目の素数さん
2006/05/08(月) 14:57:17からのもの（同書 p.37）である
---- もっとも、これは著者（高木貞治）の創案ではなく、
恐らくは、A.L.Cauchy(1789-1857)
あたりからの「孫引き」であろうと思われる ---- が、
これには著者の --- 従って、Cauchy(?)も ----
気づかなかった≪錯誤≫がある。 それを見抜いて指摘せよ。
"f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、
それを dy で表わすことにする．すなわちこの定義によれば
dy＝f'(x)・△x
今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、
x'＝１だから、
dx＝△x
故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．
これを代入すれば、
dy＝f'(x)dx
これを
dy/dx＝f'(x)
と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の
意味を有するから、dy/dx は商としての意味を有する。"
註）上記の引用文を読んで、「何か変だぞ？」という気が一向にしないのであれば、
ソチの頭脳は「オメデタイ」のだと観念せよ。 ヽ(＾。＾)ノ
0002１３２人目の素数さん
2006/05/08(月) 15:00:05dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の
dy＝f'(x)・△x
に、△x＝dx として代入することは許されない（！）。
もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には
dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も代入できる筈であり、
そうすると、
△x＝f'(x)・△x
∴ f'(x)＝１
となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、
不合理である。
よって、dy を定義してみたところで、それから
dy/dx＝f'(x) が導けるわけではない ■
0003１３２人目の素数さん
2006/05/08(月) 15:05:490004１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 11:52:57細かい誤植は目をつぶって。
dy:＝f'(x)・△x
という定義で、y=xのとき、
dy=(x)'・△x =△x
y=xより、dy=dx
ここに飛躍がある。
0005１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 12:40:38導入したって他の本で読みましたけど。
0006１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 13:37:38df=f'(x)△x
となる。ちなみにdfとは△xを変数とする関数（しかもただの比例）であって、より正確には
(df)(△x)=f'(x)△x
である。
いまg(x)=xとおくと関数gに対して同じ表し方をすれば
dg=g'(x)△x=△x
であるので、
df=f'(x)dg
と書ける。
dfとdgは本来なら関数であるから割り算はできないが、上の関係にあるとき
df/dg:=f'(x)
と定義する。
さて、本文に戻るとy=y(x)=f(x), x=x(x)=g(x)であったから
dy/dx=df/dg=f'(x)
であり、何もおかしい所はない。
しかし解析概論スレは別にあるんだし、削除対象だろう。
0007１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 14:24:12結局おめでたい頭脳の主は>>1自身だったわけか・・・。なんだこのオチ？
0008１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 14:45:17x=x(x)
に飛躍があるのでは？
恒等写像は、id(x)=x
と書いても、x=x(x)などとは書かない。
0009１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 14:53:17たぶん>>1は「x それ自身をx の函数とみれば」とか「x の函数なる x」というフレーズの意味が理解できてないのではないか。
0010１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 15:15:10いや、違う。
y=xのとき、dy=(x)'・△x =△x
そしてこのとき、dy=dx と書くのは、単なる表記の問題だとして、
１００歩譲ったとしよう。
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解析概論 p.51 から抜粋
§13で述べたように、微分記号を用いて、
dy=y'dx
と書くとき、両辺の微分を取れば、
d^2 y =y''(dx)^2 + y' d^2 x
これは積の微分法である。
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これはうまい説明といえるのか？
ただし、髙木のいうように、定義は
dy:＝f'(x)・△x
だけである。
0011１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 15:20:34y=f(x)のときdy=f'(x)Δxなのだから
x=g(x)のときdx=g'(x)Δx=Δxである。
y=xなんて式はどこからも出て来ない。
0012１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 15:26:33x=g(x)という表記は許しがたいのだが、
１００歩譲ったとして、
d^2 y =y''(dx)^2 + y' d^2 x
を説明できるのか？
0013１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 15:35:31しかし気に入らないようなのでもう一度表記を変えれば
x=xのときdx=(x)'Δx=Δxとすればいい。
（ま、表記を元に戻しただけなんだが。）
ここが理解できないのになぜわざわざ次の話題を出さねばならないのかわからないが、
後者についてはdyがΔxの関数であること、d(dy)=d^2yと表記することを認めればまったく同じ議論しかしていない。
出かけるならもうかえって来なくていい。
少なくとも続きは
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1104742800/
でやれ。
0014１３２人目の素数さん
2006/05/09(火) 16:01:08■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています