遅レスですが、

f(x)＝１　(│x│≦a)
　　　 0(│x│＞a)
フーリエ余弦変換すると、
Ｃ(τ)＝sqrt(2/π) ∫[0〜∞] f(ξ)cos(τξ)dξ＝sqrt(2/π)∫[0〜a]cosτξdξ
＝sqrt(2/π) (sin(τξ)/τ)[a,0]＝sqrt(2/π) sin(aτ)/τ

ゆえに、フーリエ積分定理より
(2/π)∫[0〜∞] ( sin(aτ) cos(τx) )/τ dτ
＝１　（│x│＜ａ）
　１/２（│x│＝ａ）
　０　（│x│＞ａ）

ｘ＝ａ＝１とおくと、
∫[0〜∞]　( 2sinτ cosτ )/τ dτ＝∫[0〜∞] sin(2τ)/τ dτ＝π/２

さらに、2τ＝θとおいて置換積分
∫[0〜∞] sinθ/θ dθ＝π/２
となり、求まります。