「奇数国から成る環と、その環の全ての国と接する一国」
という部分配置を全く含まない任意の(平面)地図は
３色で塗り分けられるか？
ということなら

国 A とそれを取り巻く８環状列国 R1, R2, …, R8 があって、
R1 と R5 が接していて
これ以外の他の国も、上以外の他の国境もない地図が
反例じゃないのか