>>487
正確に言えば
「 f(x_0,y_0) = 0 かつ fy(x_0,y_0) ≠ 0 のとき、
　(x_0,y_0) の十分近くで逆関数 y = g(x) が存在する」

この「十分近くで」ってのがかなり重要。
直感的には、すごくグネグネしてる曲線( f(x,y) = 0 )でも、
垂直になってないところ( (x_0,y_0), fy(x_0,y_0)≠0 ) の近くだったら、
曲線の傾き a を使って y = a x くらいで表せるんじゃないかな、という感じ。

微分記号のつながりは、ぜんぶ全微分から入るとすっきりする。
( f の偏微分係数を f の全微分の dx や dy の係数で定義する。
　x = g(t), y = h(t) のとき dx = g'(t) dt, dy = h'(t) dt を用いると
　df = ( ... ) dt と整理できる。この ( ... ) が df の t での微係数。)


こういう話は「多様体論」でやるので、興味があったら勉強してみるといいよ。