>>487
dxは結局Δxの極限だから、割り算できることは当然。ただし、極限をとってしまった後に割ることに問題があるのだと思う。
なので、式変形後に極限をとるという方針を立てるとすんなりいくことがおおい。

例えば、平均値の定理より
f(x+Δx, y+Δy)-f(x, y) = fx(x+θΔx, y+θΔy)Δx + fy(x+θΔx, y+θΔy)Δy
が成立(0<θ<1)
ここで、f(x+Δx, y+Δy)=0, f(x, y)=0, fy ≠0 より
Δy/Δx = - fx(x+θΔx, y+θΔy) / fy(x+θΔx, y+θΔy)
Δx → 0
の極限をとって
dy/dx = - fx/fy
が示される。