早速のご返信ありがとうございます。
自分的には下のように理解したのですがいかがでしょうか？

まずf(x,y)=0をxで偏微分すると
(∂f/∂x)=0
またfの全微分は
df=fxdx＋fydy　であり、これを両辺dxで割ると
df/dx=fx＋fy(dy/dx)=0

ここで問題なのがdf/dx=∂f/∂xは成立するのでしょうか？
あと''これを両辺dxで割ると''のようにdxや∂xを文字のように扱えるのでしょうか？
お手数かけますが重ねてよろしくお願いします。