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指数・対数方程式の普遍的解法

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0001１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:42:28

例えばa^bx + cx + d = 0みたいなのの一般的解法は、ないんだよね？
いくら難しい現代数学が発展しても、こんな単純な方程式を一般的に解けないなんて、
なんか恥ずかしく無いか。

0002１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:46:00

a^(bx) + cx + d = 0 のこと？

0003１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:47:52

うん
ちなみにこれ、高校の先生が言ってたこと。

0004１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:48:03

一般的に解けると思うが。

0005１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:49:47

終了

0006１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:56:46

Mathematicaを使えば簡単に解けて（abc≠0と仮定する）解は

x＝-d/c-ProductLog[(a^(-bd/c)blog(a))/c]/(blog(a))

と書ける。ここで気になる ProductLog関数については
http://documents.wolfram.com/v5/Built-inFunctions/NewInVersion3.x/MathematicalFunctions/ProductLog.ja.html
を参照してください。

0007１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:59:04

高校の先生ってこの程度か。

0008１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 15:59:15

>>6
どんなに複雑になっても解けるのかな？

0009１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 16:01:38

具体例として
2^(3x) + 4x + 5 = 0
を解くと実解の近似値
-1.267902351921587002206546426531808206410011639984858055....
が得られる。

0010１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 16:08:46

係数が複素数でもいい。たとえば
(1+i)^((3-2i)x)+(5-2i)x+2+7i=0
を解くと近似解
0.0311551486576298412732925315733.....
-0.7040719634716305001721234077526...i
が得られる。

厳密解の表示にはProductLog関数がいるけど、それを使えば必要な近似解は
何桁でも出せるわけ。

0011１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 16:15:57

>>1が挙げてるタイプ以外の指数方程式も全部一般的に解けるのかな
ax^bx + c^dx + ex + f　+g*log hx = 0（こんなの適当だけど）
みたいに、指数・対数と代数的方程式だけが混ざってればＯＫ？

0012１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 16:22:24

そうはいかないと思う。
a^(bx) + cx + d = 0
でさえ
a^(bx) + cx^2 + dx + e = 0
とすれば、一般解の表示はかなり面倒！でも必要性が出てくれば
新しい関数を導入して一般解を表示できるとは思う。

5次方程式だってモジュラー関数を導入すれば一般解が表示できる。
重要なのは必要性かと。

0013１３２人目の素数さん

2006/04/28(金) 18:22:15

高校の先生に騙された、かわいそうな >>1

0014１３２人目の素数さん

2006/04/29(土) 07:49:01

瞬殺ﾜﾛｽ

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