初歩的な質問なのですが。

流体力学のベルヌーイの式の導出過程にて出てきた偏微分方程式なのですが、
u*∂u/∂s = ∂(u^2/2)/∂s
ちなみにuは流速で、u(s,t)です。

右辺から左辺に持っていく事を考えたのですが、u^2/2をu/2とuに分解して、微分そのままそのまま微分という例の手法を用いたのですが。
偏微分でもアリですか？
∂（u/2 * u）/∂s = 1/2 * ∂u/∂s * u + u/2 * ∂u/∂s = u*∂u/∂s
としてみたのですが。