>>972
f(x)=1+∫[t=-1〜1] (xt + x^k*t^2)*f(t) dt = 1+∫[t=-1〜1] xt*f(t) + x^k*t^2*f(t) dt とみなすと、
∫[t=-1〜1] xt*f(t) + x^k*t^2*f(t) dt = x∫[t=-1〜1] t*f(t) dt + x^k∫[t=-1〜1] t^2*f(t) dt
a,bを定数として、∫[t=-1〜1] t*f(t) dt=a、∫[t=-1〜1] t^2*f(t) dt=b とおくと、
f(x)=1+ax+bx^k、f(-1)=-7/15 から、(-1)^k=(a-22/15)/b より kが自然数だから(a-22/15)/bは1か-1になる。
kが偶数のとき (a-22/15)/b=1 ⇔ a-b=22/15、kが奇数のとき (a-22/15)/b=-1 ⇔ a+b=22/15 ‥(1)
∫[t=-1〜1] t(1+at+bt^k) dt = b/(k+2)+2a/3-{b(-1)^(k+2)/(k+2)}=a　⇔　a=3b(1-(-1)^k)/(k+2) ‥(2)
∫[t=-1〜1] t^2(1+at+bt^k) dt=b(1+(-1)^k)/(k+3)+2/3=b　⇔　b=2(k+3)/{3(k+2-(-1)^k)} ‥(3)
(2)(3)から a-b=3b(1-(-1)^k)/(k+2)-2(k+3)/{3(k+2-(-1)^k)}=-2(k+3)/{3(k+1)}=22/15
-13/8=kで不適。a+b=3b(1-(-1)^k)/(k+2)+2(k+3)/{3(k+2-(-1)^k)}=22/15、b=2(k+2)/15
(1)(2)からa=4/5, b=2/3、また b=2(k+2)/15、k=3(奇数)で条件を満たす。よって f(x)=(2/3)x^3+(4/5)x+1