すみません；

\begin{eqnarray}
 \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}}+a\dfrac{du}{dx}+bu=0
\end{eqnarray}

これは
\begin{eqnarray*}
 \left(\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+a\dfrac{d}{dx}+b\right)u=0
\end{eqnarray*}
と書き直せる。ここで$\dfrac{d}{dx}=\lambda$とした、
$\lambda^{2}+a\lambda+b$を(1)の特性方程式と呼ぶ。その根を
$\lambda_{1},\lambda_{2}$とすると、

\begin{eqnarray*}
& &\left(\dfrac{d}{dx}-\lambda_{2}\right)\left(\left(\dfrac{d}{dx}-\lambda_{1}u\right)\right)\\
&=&\left(\dfrac{d}{dx}-\lambda_{2}\right)\left(u'-\lambda_{1}u\right)\\
&=&\left(u'-\lambda_{1}u\right)'-\lambda_{2\left(u'-\lambda_{1}u\right)}\\
&=&u''-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)+\lambda_{1}\lambda_{2}u
\end{eqnarray*}

これよりuが$\left(\dfrac{d}{dx}-\lambda_{1}\right)u=0$あるいは 
$\left(\dfrac{d}{dx}-\lambda_{2}\right)u=0$の解ならば(1)の解となる。

でした